witam w ustronnym zakątku

---

Przyroda jest matematyczna w znacznie głębszym sensie, niż wydaje się na pierwszy rzut oka, a rola matematyki w naukach przyrodniczych nie sprowadza się tylko do funkcji użytecznego narzędzia.

Od samego początku matematyka była dla myślicieli pierwowzorem czy też pewnego rodzaju modelem racjonalności. Racjonalność jest niczym innym, jak tylko tą ukrytą w człowieku siłą, która każe mu nie tylko myślą biernie kopiować, ale czynnie tworzyć – tworzyć przede wszystkim zrozumienie i samej myśli, i tego, co dzieje się wokół. Racjonalność przenika wszystkie dziedziny ludzkiej działalności; z tego prostego względu, że co nie jest racjonalne, prędzej czy później musi ulec zniszczeniu, rozerwane wewnętrznymi sprzecznościami. Racjonalność wreszcie każe człowiekowi stawiać pytania dotyczące samego ludzkiego istnienia. Są to pytania o najwyższej doniosłości, bo jeśli te pytania okazałyby się nieracjonalne, to wszystko byłoby bezsensem, łącznie z samą racjonalnością i jej pierwowzorem – matematyką. Racjonalność jest po prostu uczciwością w myśleniu i uczciwością wobec myślenia. Cała nauka jest wynikiem racjonalności. Opowiedzenie się za racjonalnością jest wyborem czegoś co uważamy za wartość. 

---

Początki nowej fizyki

Dotychczasowa fizyka zajmowała się badaniem poszczególnych elementów mniej lub bardziej sztucznie wyizolowanych z całości. Za typowy przykład tego rodzaju idealizacji przyrody może służyć dynamika punktu materialnego. Ciało materialne zredukowane do rozmiarów punktu, a oddziaływanie pomiędzy tym ciałem a całym Wszechświatem sprowadzone do postaci, jednego nieskomplikowanego wektora! Jest rzeczą godną filozoficznego zdziwienia, że tak obcesowe obchodzenie się z przyrodą prowadzi w ogóle do jakiejkolwiek zgodności w wynikami obserwacji i doświadczenia.

Z czasem fizyka dojrzała do radzenia sobie z wielkimi zbiorowiskami elementów; mam na myśli fizykę statystyczną i to najpierw klasyczna, a potem i kwantową. Była to jednak zawsze statystyka układów w stanie równowagi albo w stanach bliskich równowadze. Nadzieja, że i to uproszczenie okaże się łaskawe, to znaczy, że mimo pominięcia faktu, iż przyroda wokół nas wcale nie jest bliska równowadze, i tak będziemy w stanie – przynajmniej w przybliżeniu – wyjaśnić istnienie i rozwój jej struktur, okazała się złudna.

Istnienie bardziej skomplikowanych struktur, a do nich przecież należą najprostsze struktury żywe, we wszystkich scenariuszach dopuszczanych przez tradycyjną fizykę statystyczną wydawało się cudem. I było już rzeczą raczej wtórnych filozoficznych skłonności, czy się ten cud tłumaczyło nadzwyczajną ingerencją Boga, czy wszechmocnym działaniem przypadku.

I tu właśnie wkraczają na scenę fizyki matematyczne metody globalne. Zastosowanie ich stworzyło fizykę statystyczną stanów dalekich od równowagi. Okazało się, że – w przeciwieństwie do tradycyjnej fizyki statystycznej – jest to „statystyka nieliniowa”. Nieliniowość zwykle znacznie komplikuje aparat matematyczny, lecz właśnie metody globalne pouczają, jak sobie radzić z tymi komplikacjami, ale – przede wszystkim – zależności nieliniowe umożliwiają istnienie struktur, które w reżimie liniowym nie miałyby żadnych szans.

Teoria układów dynamicznych okazała się tu niezastąpionym narzędziem matematycznym. Wykorzystując metody globalnej matematyki potrafimy konstruować modele stabilnych struktur istniejących w środowiskach odległych od stanów równowagi. Na ich przykładzie można dojrzeć „mechanizm” ich zawiązywania się, istnienia i rozwoju. Istnienie skomplikowanych struktur we Wszechświecie, a wśród nich fenomenu tak złożonego, jakim jest życie, nie wydaje się już anomalią w świecie fizyki. „Zagadka życia” nie została rozwiązana, i jesteśmy od tego jeszcze ciągle bardzo odlegli, ale ścisłe metody matematyczne nieodwracalnie wkroczyły już i w tę dziedzinę.

Tradycyjna fizyka makroskopowa była fizyką deterministyczną. Zmienność układu fizycznego w czasie była raz na zawsze ustalona równaniami ruchu i warunkami początkowymi. Nowa fizyka na ten determinizm warunków początkowych nakładała fluktuacje statystyczne, czyli po prostu urealistycznia dawny, wyidealizowany obraz. I okazuje się że te same równania ruchu swoimi rozwiązaniami piszą zupełnie inne scenariusze. Małe fluktuacje mogą wygładzać się, ulegać stopniowemu wygaszaniu, ale mogą też wzmagać się, nakładać, nawarstwiać, przeważnie drobnymi, prawie niezauważalnymi zmianami w globalnej dynamice układu, aż wreszcie przychodzi moment krytyczny, katastrofa, fluktuacje obejmują duże obszary, czasem pokrywają cały układ, ich wrzenie załamuje dotychczasową dynamikę; w odpowiednich matematycznych warunkach może ustalić się nowy reżim, nowa dynamika. Często bywa tak, że układ znajdujący się w stanie katastrofy ma przed sobą „do wyboru” dwie lub więcej możliwych ewolucji (nazywa się to stanem bifurkacyjnym) i znowu jest rzeczą „konkurencji wśród fluktuacji”, którą z tych dróg układ podąży.

Niekiedy zdarza się tak, że pewne stany odznaczają się mniejszą lub większą stabilnością: jeżeli układ znajdzie się w takim stanie, przez krótszy lub dłuższy czas w nim pozostanie. Układ taki może być „stanem końcowym” wielu różnych dynamik. Wygląda to tak, jakby różne dynamiki były przyciągane przez tego rodzaju trwałe stany; dlatego też stany te nazywa się atraktorami. Co więcej, stany-atraktory na ogół wcale nie charakteryzują się statycznością, bezruchem, przeciwnie, coś dzieje się w nich ustawicznie, ale procesy są tak zbalansowane, że dynamiczna struktura może istnieć przez długie (niekiedy bardzo długie) okresy czasu, a nawet może, odżywiając się fluktuacjami lub energią zewnętrzną, wzrastać i komplikować się.

Wielu ludzi wpada w euforię, twierdzą, że w takim razie biologia została już zmatematyzowana. Przestrzegam przed tego typu naiwnym optymizmem. Zagadka życia nie została wyjaśniona, jesteśmy tylko bogatsi o nowe metody, które – miejmy nadzieję – przybliżą nas do rozwiązania tej zagadki. Choć nie mamy żadnej gwarancji że te metody już wystarczą.

Zrozumienie podstaw życia jest niewątpliwie bardzo doniosłym zadaniem, ale nie należy sądzić, że jest to jedyne zadanie, jakie stoi przed nowymi metodami. Dają one ciekawe wyniki we wszystkich dziedzinach, w których mamy do czynienia z rozwijającymi się strukturami, złożonymi z bardzo wielu elementów; znajdują więc wielkie pole do popisu w ekonomii, socjologii, w wielu naukach humanistycznych (językoznawstwo, analiza form literackich...), a nawet w sztuce. Chociaż trudno przypuszczać by udało się już obecnie przetłumaczyć na matematyczne formuły proces ewolucji biologicznej lub proces rozwoju języka.

Fizyka klasyczna była nauką o prostych strukturach i odpowiadającą jej kategorią filozoficzną było istnienie. Nowa fizyka jest nauką o strukturach złożonych i właściwą dla niej kategorią filozoficzną jest stawanie się.

---

Modele ewoluujących form

Otaczający nas świat składa się z kształtów – form. Kształty te są pełne dynamiki. Jedne giną inne powstają, ale pomiędzy powstawaniem i ginięciem rozciąga się falujące, wzburzone załamujące się morze form w ruchu, w różnych stadiach przeobrażeń. W życiu codziennym jesteśmy zżyci raczej z przedmiotami niż formami, lecz co to jest przedmiot? Przedmioty wyróżniamy w naszej przestrzeni życiowej – określamy je przy pomocy zmysłów, najczęściej wzroku – nie odwołując się do ich substancjonalności, indywidualności czy czegoś podobnego, lecz do względnej trwałości ich kształtu czy formy.

„Widowisko wszechświata jest nieustannym ruchem narodzin, rozwoju, niszczenia form. Zadaniem wszystkich nauk jest przewidzieć tę ewolucję i jeżeli to możliwe wyjaśnić ją.”

Chodzi o nauki makroskopowe czyli takie właśnie, których zadaniem jest opisanie otaczającego nas świata zmiennych form.
Samo pojęcie przedmiotu trwającego jakiś czas w przestrzeni, czyli przedmiotu czasoprzestrzennego, zakłada pojęcie modelu. Model należy tu rozumieć w najszerszym znaczeniu jako sposób wyodrębnienia z „morza form” tych form, które przedstawiają się nam jako względnie trwałe w czasie i przestrzeni. Układ ewoluujących form nazywamy procesem fenomenologicznym.

---

Ewolucja przez bifurkacje

Teoria układów dynamicznych jest dziś obszernym działem matematyki znajdujący coraz to nowe zastosowania w fizyce. Dziś już wiadomo, że metoda układów dynamicznych odegra istotną rolę w badaniu powstawania trwałych struktur w stanach dalekich od termodynamicznej równowagi, a więc także badaniach biologicznych procesów ewolucyjnych. Tutaj przydatny będzie punkt widzenia termodynamiczny, gdyż wyraźniej ujawni on związki tej metody z procesami ewolucyjnymi.

Wszystkie procesy twórcze w przyrodzie dzieją się w stanach dalekich od równowagi. Równowaga termodynamiczna, likwidując wszelkie gradienty energetyczne, działa zabijająco. Nic dziwnego, że termodynamika klasyczna (tzw. liniowa), która „działała” najwyżej w stanach niedalekich od równowagi, nie potrafiła sobie poradzić z wyjaśnieniem powstawania nowych, coraz wyżej zorganizowanych struktur. Dopiero metody termodynamiki nieliniowej, bogato wykorzystując matematyczny aparat teorii układów dynamicznych zaczęły sobie dobrze radzić z tym zagadnieniem.
Okazuje się – co jest wynikiem głęboko nietrywialnym – że w stanach odległych od równowagi mogą istnieć trwałe struktury. Ale struktury takie nie są statyczne. Nieustannie atakowane przez wewnętrzne i zewnętrzne fluktuacje, statystyczne z natury rzeczy, są one narażone na przemianę. Fluktuacje wprowadzają do układu element indeterminizmu, ale proces zwykle odbywa się „normalnie” w statystycznie dobrze określonym kierunku; etap ten nazywamy stacjonarnym.

Jednakże w pewnych, specjalnie czułych punktach ewolucji, indeterminizm ostro się ujawnia: układ ma „do wyboru” kilka lub więcej możliwych dróg. „Wybór” nie zależy od warunków początkowych, jest zupełnie nie do przewidzenia. Ale historia musi się dziać. Układ „wybiera” więc jedną z możliwości i proces toczy się nadal, ale już w nowym reżimie. Historia zrodziła nową jakość. Taki krytyczny punkt ewolucji nazywa się bifurkacją (fizycy czasem mówią w takich przypadkach o przejściach fazowych).

„Wybór” w punkcie bifurkacji zależy od małej przypadkowej fluktuacji. Która w innych warunkach byłaby zupełnie niegroźna, ale w punktach szczególnej wrażliwości układu staje się odpowiedzialna za przewrót. W nowym reżimie układ znów się stabilizuje, staje się odporny na drobne zaburzenia. Jego historia podąża w dobrze ustalonym kierunku. Wygląda to tak, jakby któryś ze stanów przyszłych „przyciągał” układ. Stan taki można zwykle konkretnie wskazać; nazywa się go atraktorem (w termodynamice klasycznej znany był tylko jeden atraktor – stan równowagi termodynamicznej). Ale po drodze mogą pojawić się nowe punkty bifurkacyjne. Nieliniowa ewolucja obfituje w rewolucje, z tym, że nie są one całkowitym zaskoczeniem: a priori można przewidywać okresy zagrożone rewolucją; rewolucje nie są wynikiem tajemnego spisku, lecz stanowią istotną część programu. Trzeba wreszcie podkreślić, że obraz ten nie został uzasadniony tylko wyobrażeniowo. Wszystko jest tu bardzo solidną matematyką, bogatą w głębokie twierdzenia, których ciągle przybywa i których znaczenie dla nauk przyrodniczych (także dla biologii) dopiero zaczynamy rozumieć.

Matematyczna teoria układów dynamicznych. Pojęcie układu dynamicznego powstaje w następującym kontekście. Gdy mamy do czynienia z jakimkolwiek układem fizycznym, musimy zacząć od opisania stanów, w jakich układ może się znajdować, czyli od określenia przestrzeni stanów. Bardzo często przestrzeń stanów ma strukturę rozmaitości. Następnym krokiem badania rozważanego układu jest określenie jego ewolucji, czyli ciągu stanów, jakie układ przyjmuje w czasie. Prowadzi to do równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego stopnia na określonego na rozmaitości stanów czyli pojęcia układu dynamicznego. Matematyczna analiza globalna to badanie stabilnych struktur w stanach odległych od równowagi termodynamicznej (termodynamika nieliniowa).

---

Bifurkacyjny model rozwoju nauki

Jeśli spojrzeć na dzieje ludzkości i dostrzec krótkość okresu, w którym ludzie potrafią się posługiwać sztuką metodycznego myślenia i jeżeli żywić odrobinę optymizmu co do kontynuacji naszej historii na Ziemi, To można mieć nadzieję, że znajdujemy się dopiero u początków rozwoju nauki. Nauka jest procesem odległym od stanu równowagi. Do jej istoty należy rozwój przez fluktuacje.

W proponowanym modelu nieliniowej ewolucji nauki cały czas rządzą prawa „wewnętrznej logiki”, ale logika ta jest „statystyczna” i „nieliniowa”. W okresach stacjonarnych mamy do czynienia z „porządkiem przez fluktuacje”, w okresach bifurkacji ze „stanami wrzenia”, ale stany te nie są wbrew dotychczasowej logice, lecz na skutek dotychczasowej logiki rozwoju, nie są czymś z zewnątrz, lecz w sposób istotny należą do „reguł gry”. Ważnym elementem metody naukowej są przewidywania empiryczne. Według modelu nieliniowej ewolucji nauki stosunkowo łatwo dokonywać przewidywań w trakcie fazy stacjonarnej. Można też z dużym stopniem wiarygodności przewidzieć ogólny kierunek rozwoju stacjonarnej nauki jako całości. Natomiast okresy bifurkacji sprawiają, że przewidywania długofalowe – sięgające poza stan bifurkacyjny – są mało wiarygodne. Można się tu ograniczyć jedynie do ogólnych sugestii lub intuicji, które zwykle post factum okazują się zbyt naiwne i prymitywne. Ewolucja nauki jest niewątpliwie procesem produkującym informację i proces ten na pewno odbywa się w stanach dalekich od równowagi, a termodynamika nieliniowa jest pierwszą teorią fizyki, jeśli nie wyjaśniającą całkowicie, w jaki sposób dokonują się procesy tworzenia informacji w stanach nierównowagowych, to w każdym razie ukazującą, że dzieje się to w zgodzie z prawami fizyki. Rzecz w tym, iż procesy „oddziaływań” biologicznych, społecznych itp. Również dobrze poddają się opisowi w języku układów dynamicznych. Model nieliniowej ewolucji nauki jest skonstruowany w oparciu o obecny stan naszej wiedzy o mechanizmach procesów ewolucyjnych, czyli procesów, w trakcie których tworzy się informację i nowe struktury. Oraz model ten harmonijnie łączy dwa przeciwstawne sobie obrazy rozwoju nauki: obraz ”wewnętrznej logiki rozwoju” i obraz katastroficznych rewolucji. Połączenie tych dwu obrazów dokonało się na podstawie modelu, zdającego sobie sprawę ze współdziałania obydwu tych pozornie sprzecznych czynników. Okazuje się, że nieciągłości i stany katastroficzne mogą być istotną częścią „wewnętrznej logiki” kierującej dynamicznym procesem.

W świetle historycznych rekonstrukcji rozwoju struktur czasoprzestrzennych przejście od mechaniki klasycznej do teorii względności, jest tak naturalnym krokiem, iż mógłby on zostać dokonany przez każdego, nawet miernego, fizyka pod warunkiem, że znałby on „logiczny schemat” rozwoju poprzednich teorii czasoprzestrzeni. Rzecz jednak w tym, iż schemat ten mógł zostać odkryty dopiero po wypracowaniu przez teorię względności zaawansowanego języka geometrycznego. I dlatego Einstein nie mógł zastosować „mechanicznej recepty”, lecz musiał być geniuszem. Wszystkie genialne rewolucje naukowe ex post wydają się proste i logiczne. Dobrze z tego zdaje sprawę nieliniowy model ewolucji nauki. Do dokonania właściwej rewolucji niezbędna jest iskra geniuszu, bo przed fazą bifurkacji nie da się przewidzieć późniejszego rozwoju na podstawie żadnych prostych recept. Ale rewolucje układają się w logiczny ciąg, bo „logika rozwoju” jest obecna w całym procesie. Jest to wszakże „logika stochastyczna”, logika „porządku przez fluktuacje”, i dlatego uwidacznia się ona dopiero po spojrzeniu wstecz.

Termodynamika nieliniowa chętnie sięga, jako do swoich narzędzi, do innych nowoczesnych działów nauki. Należy tu przede wszystkim wspomnieć teorię układów dynamicznych i teorię katastrof. Teoria układów dynamicznych jest rozdziałem matematyki studiującym równania różniczkowe, szczególnie dobrze nadające się do opisu sytuacji niestabilnych. Teoria katastrof, jak sama nazwa wskazuje, specjalizuje się w badaniach wszelkiego rodzaju niestabilności i stosowaniu ich do wyjaśniania genezy różnorakich form w przyrodzie (morfogeneza). Związki tych doktryn rewolucją nieliniową w termodynamice są oczywiste.

Ważną cechą procesu tworzenia się porządku przez fluktuacje jest jego historyczność. Ze względów zasadniczych nie da się tu przewidzieć stanu końcowego ze znajomości warunków początkowych; stan obecny jest określany przez całą dotychczasową historię układu.

---

Wprawdzie jesteśmy jeszcze ciągle bardzo odlegli od zrozumienia, w jaki sposób pierwotna prakomórka zatętniła prażyciem, ale mamy już podstawy sądzić, że nie stało się to wbrew prawom fizyki i że to właśnie prawa fizyki a nie ślepy przypadek mogły być autorem tego niezwykłego ciągu wydarzeń, któremu zawdzięczamy nasze istnienie.